HDU 5852 Intersection is not allowed【容斥+行列式求解】

ACM_数学

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5852

题意：

给定$n*n$的棋盘，及$m$个棋子的初始位置及终点，初始均在第$1$行，终点在第$n$行，每次只能向下或者右移动，每步只能往下或往右移，要求移动路径不能交叉，求路径方案数。
数据范围：$n \le 100000, m \le 100$

分析：

Lindström–Gessel–Viennot引理
引用大佬：

题目类型貌似很单一，通常都是上面有点集A，下面有点集B，然后求每个A到对应B的不相交路径总数
可能还会有一些限制QAQ
然后我们考虑我们求出f(i,j)表示A的第i个点到B的第j个点的路径方案
考虑如果设排列P，我们考虑i->P(i)
则这个排列有多少个逆序对就至少有多少个交点
这里出现了至少，我们可以考虑容斥原理
写出容斥原理的式子之后我们会得到一个O(n!)的算法
之后仔细观察会发现容斥原理的式子实际上就是求行列式
然后O(n^3)求行列式即可

行列式的定义:
设$A$是数域上的一个$n$阶方阵，从$A$中取出不同行又不同列的$n$个元素做乘积$(-1)^{t(j_1,j_2…j_n)}a_{1j_1}a_{2j2}…a_{nj_n}$构成一项，这样的项恰有$n!$个，称这$n!$项之和为$A$的行列式。即$|A|=\sum_{j_1,j_2,…j_n} (-1)^{t(j_1,j_2…j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}…a_{nj_n}$
根据定义我们发现容斥求解的过程就是在求行列式= =
求行列式就是化为上三角矩阵，答案即为对角线元素的乘积。

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/*************************************************************************
    > File Name: 5852.cpp
    > Author: jiangyuzhu
    > Mail: 834138558@qq.com 
    > Created Time: 2016/10/9 23:31:42
 ************************************************************************/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cmath>  
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn = 1e2 + 5, maxm = 1e5 + 5, mod = 1e9 + 7;
ll a[maxn][maxn];  
int sign;  
int N;
ll solve()  
{  
    ll ans = 1;  
    for(int i = 0; i < N; i++){//当前行  
        for(int j = i + 1; j < N; j++){//当前之后的每一行，因为每一行的当前第一个数要转化成0（想想线性代数中行列式的计算）
            int x = i, y = j;  
            while(a[y][i]){//利用gcd的方法，不停地进行辗转相除  
                ll t = a[x][i] / a[y][i];  
                for(int k = i; k < N; k++)  
                    a[x][k] = (a[x][k] - a[y][k] * t) % mod;  
                swap(x,y);  
            }  
            if(x != i){//奇数次交换，则D=-D'整行交换  
                for(int k = 0; k < N; k++)  
                    swap(a[i][k], a[x][k]);  
                sign ^= 1;  
            }  
        }  
		//斜对角中有一个0，则结果为0 
        if(a[i][i] == 0) return 0;
        else ans = ans * a[i][i] % mod;  
    }  
	if(sign) ans *= -1;
	if(ans < 0) ans += mod;
    return ans;  
}  
int x[maxn];
int y[maxn];
ll quick_pow(ll a, int b, int mod)
{
	ll ans = 1;
	for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod){
		if(b & 1) ans = ans * a % mod;
	}
	return ans;
}
ll fact[2 * maxm + 5];
ll rev[2 * maxm + 5];
int main()  
{  
   int T;scanf("%d", &T);
   fact[0] = 1; rev[0] = 1;
   for(int i = 1; i < 2 * maxm; ++i) fact[i] = fact[i - 1] * 1ll * i % mod;
   for(int i = 1; i < 2 * maxm; ++i) rev[i] = quick_pow(fact[i], mod - 2, mod);
   while(T--){
		sign = 0; 
		int n;scanf("%d%d", &n, &N);
		for(int i = 0; i < N; ++i){
			scanf("%d", &x[i]);
		}
		for(int i = 0; i < N; ++i){
			scanf("%d", &y[i]);
		}
		for(int i = 0; i < N; ++i){
			for(int j = 0; j < N; ++j){
				if(y[j] < x[i])	a[i][j] = 0;
				else{
					a[i][j] = fact[n - 1 + y[j] - x[i]] * rev[n - 1] % mod * rev[y[j] - x[i]] % mod;
				}
			}
		}
        printf("%lld\n", solve() % mod);
    }  
    return 0;  
}
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